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詳細は「 （）」を参照 を用いて、実数の集合を （）ある種の構造として明示的に定義する方法はいくつか存在する。まず、 とは、ものを数えるときに用いる番号のことであり、 0 から始めて 0, 1, 2. と、 +1 ずつ添加していくことにより得られる。自然数を拡張して 全体を得るには、各自然数のを添加すればよい。さらにそれらの商を添加すると、 全体が得られる。これらの数体系には、加減乗除というが付随しており、さらに、任意の2数を比較しての大小関係（どちらが大きいか、小さいか、等しいか）というをも備えている。 有理数から 実数への拡張は（自然数から整数や有理数への拡張と比べて）大きな飛躍である。この拡張の方法は、少なくとも2つの手法がよく知られている。ともにに発表されたによるものとによるものである。これらの実数の構成法により 0.999⋯ = 1 を証明している実解析の教科書は見られない [ ]。現代数学では、解析学的に実数を構成し、それが数の公理を満たすかどうかに注意が払われる。公理による解析的手法により 0.999⋯ = 1 を証明することになるからである。しかしながら、実数の構成をより適切に、論理的に行うことにより、 0.999⋯ = 1 の証明はもっと直接的になされる (self-contained) と主張する人もいる 。 デデキント切断による構成 [ ]. The intelligibility of the continuum has been found—many times over—to require that the domain of real numbers be enlarged to include infinitesimals. This enlarged domain may be styled the domain of continuum numbers.
It will now be evident that.9999⋯ does not equal 1 but falls infinitesimally short of it. I think that.9999⋯ should indeed be admitted as a number ⋯ though not as a real number. （訳: 連続体の明確な理解には、実数の領域を無限小を含むように拡大することが必要だと（何度も繰り返し）見出されてきた。この拡大された領域は、連続体数の領域の形を取るだろう。今や 0.9999⋯ が 1 に等しくなく、それよりも無限小だけ小さいことは明らかだ。私は 0.9999⋯ は「実」数としてではないけれども「数」として実際に許されるべきと思う。） 超現実数・ゲーム [ ]. 「」および「[[::en:Surreal_number#Games :en:Surreal_number#Games]]」も参照 前項と特に関連して、 （）における同様の実数代替体系として、'無限二色ハッケンブッシュゲーム (infinite Blue-Red Hackenbush)' を考えることができる。に、エルウィン・バールカンプ (Elwyn Berlekamp) はのアイディアに刺激されてハッケンブッシュ文字列と実数の2進展開の関係について述べた。例えば、'ハッケンブッシュ文字列 (Hackenbush string)' LRRLRLRL⋯ の値は 0.010101⋯ = 1 / 3 である。しかしながら、文字列 LRLLL⋯（ 0.111⋯ に対応する）の値は 1 に比べてごくわずかだけ小さい。 これらの2数（LRLLL⋯ と 1）の差は （） (surreal number) 1/ ω（ ω は （））である。これに関連するゲームは LRRRR⋯ すなわち 0.000⋯ である 。 減法の再考 [ ] 別の方法は、引き算はいつでもできるわけではなくて「 1 − 0.999⋯ は存在しない」としてしまうことである。加法をもつが減法をもたない数学的構造には、、可換、 などが含まれる。リッチマンは 0.999⋯. • 例えば、は「ただしい」証明だが、その証明の正当性はである極限の概念によって保証される。同様にそれら解析学的証明を「ただしい」証明たらしめているのは実数の特質に他ならない。しかし普通は、実数の公理にまでいちいち遡らずにいくつかの性質を「認めて」、そこで切り上げるのである。もちろん実数の代替となる体系において、実数と異なる性質に基づけば、それら「証明」はそのどこかが崩され、「まちがった」証明となり得る。 • ^ cf. 同様な議論の版も以下にある。Silvanus P.